Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений

С.И. Ляшко, Д.А. Номировский, Ю.И. Петунин, В.В. Семенов

Среди 23 проблем Д.Гильберта, которые этот великий математик сформулировал в 1900 году на международном конгрессе математиков в Париже как завещание XIX века будущим поколениям математиков, достойное место занимает двадцатая проблема - «общая задача о граничных условиях», в которой ставится проблема расширения классического понятия решения и выработки понятия обобщенного решения операторного уравнения.

Окончательного решения этой проблемы пока не существует. Однако наличие множества различных определений обобщенных решений, существующих на сегодняшний день, и очевидные аналогии между ними позволяют предположить, что существует некая общая конструкция-подход к построению понятия обобщенной разрешимости. Авторы полагают, что им удалось найти основные элементы такого общего подхода.

Издательство: Диалектика, Вильямс, 2009 г.

ISBN 978-5-8459-1524-5

Количество страниц: 192.

Содержание книги «Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений»:

9 ПРЕДИСЛОВИЕ
19 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОНЯТИЯ и ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ
26 2. ПРОСТЕЙШИЕ СХЕМЫ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
- 26 2.1. Сильное обобщенное решение
- 29 2.2. Сильное почти решение
- 30 2.3. Слабое обобщенное решение
- 32 2.4. Слабое почти решение
- 33 2.5. Существование и единственность слабого обобщенного решения для линейного операторного уравнения
- 34 2.6. Связь между слабым и сильным обобщенными решениями
37 3. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО НЕПРЕРЫВНОГО ОПЕРАТОРА
- 37 3.1. Априорные неравенства
- 38 3.2. Обобщенное решение операторного уравнения в банаховых пространствах
- 43 3.3. Обобщенное решение в локально выпуклых линейных топологических пространствах
- 45 3.4. Связь между обобщенными решениями в банаховых и локально-выпуклых пространствах
49 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
- 49 4.1. Приложение к теории разрешимости уравнений с оператором Гильберта-Шмидта в гильбертовом пространстве L₂(−π,π)
- 56 4.2. Обобщенные решения для бесконечной системы линейных алгебраических уравнений
- 60 4.3. Приложение к теории разрешимости интегральных уравнений Вольтерра первого рода
- 64 4.4. Приложение к статистике случайных процессов
- 65 4.5. Приложение к дифференциальным уравнениям (параболическое уравнение в связной области)
  - 65 4.5.1. Постановка задачи
  - 66 4.5.2. Свойства операторов ассоциированных с граничной задачей
  - 70 4.5.3. Обобщенная разрешимость граничной задачи
- 73 4.6. Приложение к дифференциальным уравнениям (параболическое уравнение в несвязной области)
  - 74 4.6.1. Основные обозначения
  - 79 4.6.2. Свойства оператора задачи
  - 84 4.6.3. Обобщенное решение параболической системы с разрывами
86 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЧТИ РЕШЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
- 86 5.1. Построение почти решений. Редукция к проблеме решения системы линейных алгебраических уравнений
- 88 5.2. Метод рядов Неймана
- 93 5.3. Число обусловленности матрицы
- 96 5.4. Точность приближенного решения
- 97 5.5. Метод Хотеллинга исправления элементов обратной матрицы и универсальный комбинированный метод решения системы линейных алгебраических уравнений
- 99 5.6. Точное решение системы линейных алгебраических уравнений методом ортогонализации
- 102 5.7. Решение систем линейных алгебраических уравнений с гарантированной точностью. Нормирование систем
- 106 5.8. Характеризация классического решения с помощью ряда Неймана в множестве обобщенных решений
115 6. ОБЩАЯ СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
- 116 6.1. Обобщенное решение линейных операторных уравнений в локально-выпуклых линейных топологических пространствах
- 123 6.2. Примеры обобщенных решений
  - 124 6.2.1. Классическая разрешимость
  - 125 6.2.2. Обобщенная сильная разрешимость
  - 126 6.2.3. Обобщенная слабая разрешимость
  - 126 6.2.4. Априорные неравенства
- 127 6.3. Свойства обобщенной разрешимости в пространствах E₁, E₂
129 7. СХЕМА ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
- 130 7.1. Обобщенное решение нелинейного операторного уравнения
- 130 7.2. Почти решение нелинейного операторного уравнения
- 131 7.3. Существование и единственность обобщенного решения
- 132 7.4. Корректность обобщенного решения
- 133 7.5. Псевдообобщенное и существенно обобщенное решения
- 138 7.6. Вложение пространства псевдообобщенных решений в пространство обобщенных решений
- 144 7.7. Примеры операторов
- 145 7.8. Вычисление обобщенного решения
149 8. ОБОБЩЕННЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
- 149 8.1. Примеры обобщенных экстремальных элементов
- 152 8.2. Обобщенные экстремальные элементы для линейных и положительно однородных выпуклых функционалов
- 161 8.3. Обобщенные экстремальные элементы для общих выпуклых функционалов
- 172 8.4. Несколько замечаний
180 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Инструкция как скачать книгу С.И. Ляшко, Д.А. Номировский, Ю.И. Петунин, В.В. Семенов: Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений в форматах DjVu, PDF, DOC или fb2 совершенно бесплатно.