Линейная алгебра в примерах и задачах
А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев
Изложены основные понятия, теоремы и методы решения задач по всем разделам курса: матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений, функциональные матрицы и функции векторного аргумента, многочленные матрицы и функции от матриц, линейные пространства и линейные отображения, численные методы.
В каждом разделе кратко изложены основные теоретические сведения, приведены решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения с ответами.
Для студентов технических вузов.
Издательство: Высшая школа, 2010 г.
ISBN 978-5-06-006204-5, 978-5-06-004138-7
Количество страниц: 592.
Содержание книги «Линейная алгебра в примерах и задачах»:
- 8 Предисловие
- 9 Введение
- 9 1. Множества и операции над ними
- 11 2. Основные алгебраические структуры
- 11 2.1. Арифметические операции и их свойства
- 15 2.2. Бинарные операции и их свойства
- 18 2.3. Группы, кольца, поля
- 25 3. Поле комплексных чисел
- 29 4. Кольцо многочленов
- 38 5. Аксиоматические построения и логические рассуждения
- 46 Глава 1. Матрицы и действия над ними
- 46 1.1. Числовые матрицы
- 48 1.2. Линейные операции над матрицами
- 48 1.2.1. Сложение матриц
- 49 1.2.2. Умножение матрицы на число
- 50 1.3. Умножение матриц
- 50 1.3.1. Определение произведения матриц
- 54 1.3.2. Свойства умножения матриц
- 57 1.3.3. Умножение матриц на столбцы и строки единичной матрицы
- 59 1.3.4. Степень матрицы
- 62 1.4. Транспонирование и сопряжение матриц
- 62 1.4.1. Транспонирование матриц
- 65 1.4.2. Сопряжение матриц
- 68 1.4.3. След матрицы
- 70 1.5. Блочные (клеточные) матрицы
- 70 1.5.1. Блочные матрицы и операции над ними
- 74 1.5.2. Кронекеровские произведение и сумма матриц
- 75 1.6. Элементарные преобразования матриц
- 75 1.6.1. Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
- 83 1.6.2. Элементарные преобразования как умножения матриц
- 91 1.6.3. Нахождение элементарных преобразующих матриц
- 99 Глава 2. Определители
- 99 2.1. Индуктивное определение
- 102 2.2. Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)
- 104 2.3. Свойства определителей
- 104 2.3.1. Основные свойства определителей
- 108 2.3.2. Формула полного разложения определителя
- 110 2.3.3. Формула Лапласа
- 112 2.3.4. Определитель произведения матриц
- 115 2.4. Методы вычисления определителей
- 115 2.4.1. Применение элементарных преобразований
- 121 2.4.2. Метод рекуррентных уравнений
- 128 Глава 3. Ранг матрицы
- 128 3.1. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы
- 131 3.2. Базисный минор и ранг матрицы
- 131 3.2.1. Базисный минор матрицы
- 133 3.2.2. Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы
- 138 3.3. Методы вычисления ранга матрицы
- 138 3.3.1. Метод окаймляющих миноров
- 140 3.3.2. Метод Гаусса нахождения ранга матрицы
- 143 3.4. Ранг системы столбцов (строк)
- 149 Глава 4. Обратная матрица
- 149 4.1. Определение, существование и единственность обратной матрицы
- 151 4.2. Свойства обратной матрицы
- 153 4.3. Способы нахождения обратной матрицы
- 160 4.4. Матричные уравнения
- 162 4.5. Полуобратная и псевдообратная матрицы
- 162 4.5.1. Односторонние обратные матрицы
- 164 4.5.2. Полуобратная матрица
- 170 4.5.3. Псевдообратная матрица
- 185 Глава 5. Системы линейных алгебраических уравнений
- 185 5.1. Основные понятия и определения
- 187 5.2. Правило Крамера
- 189 5.3. Условие совместности системы линейных уравнений
- 190 5.4. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
- 194 5.5. Структура общего решения однородной системы
- 200 5.6. Структура общего решения неоднородной системы
- 203 5.7. Применение элементарных преобразующих матриц
- 209 5.8. Псевдорешения системы линейных уравнений
- 218 Глава 6. Функциональные матрицы и функции векторного аргумента
- 218 6.1. Функциональные матрицы скалярного аргумента
- 222 6.2. Производные скалярной функции по векторному аргументу
- 224 6.3. Производные векторной функции по векторному аргументу
- 230 6.4. Производные матричной функции по векторному аргументу
- 231 6.5. Линейные и квадратичные формы
- 235 6.5.1. Преобразования форм при линейной замене переменных
- 238 6.5.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- 248 6.5.3. Закон инерции вещественных квадратичных форм
- 251 6.5.4. Знакоопределенность вещественных квадратичных форм …
- 254 6.5.5. Применение форм к исследованию функций на экстремум …
- 261 Глава 7. Многочленные матрицы и функции от матриц
- 261 7.1. Многочленные матрицы (λ.-матрицы)
- 261 7.1.1. Определение многочленных матриц (λ -матриц)
- 262 7.1.2. Операции над λ.-матрицами
- 271 7.1.3. Элементарные преобразования λ -матриц
- 279 7.1.4. Инвариантные множители λ.-матрицы
- 282 7.2. Характеристические матрицы и многочлены
- 282 7.2.1. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- 291 7.2.2. Подобие числовых матриц
- 298 7.2.3. Характеристический многочлен матрицы
- 300 7.2.4. Теорема Гамильтона – Кэли. Минимальный многочлен матрицы
- 306 7.3. Жорданова форма матрицы
- 306 7.3.1. Элементарные делители матрицы
- 309 7.3.2. Жордановы клетки и матрицы
- 316 7.3.3. Приведение матрицы к жордановой форме
- 331 7.3.4. Многочлены от матриц
- 342 7.3.5. Применение многочленов от матриц для решения систем линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами
- 346 7.4. Функции от матриц
- 347 7.4.1. Функции, определенные на спектре матрицы
- 348 7.4.2. Определение и свойства функций от матриц
- 349 7.4.3. Способы нахождения функций от матриц
- 354 7.4.4. Свойства функций от матриц
- 356 7.4.5. Применение функций от матриц для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- 261 7.1. Многочленные матрицы (λ.-матрицы)
- 364 Глава 8. Линейные пространства
- 364 8.1. Определение и примеры линейных пространств
- 364 8.1.1. Аксиомы линейного пространства
- 365 8.1.2. Простейшие следствия аксиом
- 366 8.1.3. Примеры линейных пространств
- 370 8.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов
- 370 8.2.1. Понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов
- 372 8.2.2. Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
- 373 8.2.3. Аффинные, неотрицательные и выпуклые комбинации векторов
- 376 8.3. Размерность и базис линейного пространства
- 376 8.3.1. Определения размерности и базиса
- 379 8.3.2. Примеры базисов линейных пространств
- 383 8.4. Координаты и преобразования координат
- 383 8.4.1. Координаты векторов в данном базисе
- 383 8.4.2. Линейные операции в координатной форме
- 385 8.4.3. Преобразование координат вектора при замене базиса
- 387 8.4.4. Свойства матрицы перехода от одного базиса к другому
- 389 8.5. Изоморфизм линейных пространств
- 391 8.6. Подпространства линейного пространства
- 391 8.6.1. Определение линейного подпространства
- 392 8.6.2. Примеры линейных подпространств
- 395 8.6.3. Пересечение и сумма подпространств
- 400 8.6.4. Прямая сумма подпространств
- 403 8.6.5. Способы описания подпространств
- 419 8.7. Линейные многообразия
- 419 8.7.1. Определение линейного многообразия
- 420 8.7.2. Свойства линейных многообразий
- 421 8.7.3. Способы описания линейных многообразий
- 426 8.8. Евклидовы пространства
- 426 8.8.1. Определение евклидова пространства
- 428 8.8.2. Примеры евклидовых пространств
- 430 8.8.3. Длина вектора. Угол между векторами
- 433 8.8.4. Ортогональные векторы и их свойства
- 434 8.8.5. Процесс ортогонализации Грама- Шмидта
- 437 8.8.6. Ортогональный и ортонормированный базисы
- 443 8.8.7. Ортогональные дополнения
- 447 8.8.8. Задача о перпендикуляре
- 453 8.8.9. Унитарные пространства
- 364 8.1. Определение и примеры линейных пространств
- 459 Глава 9. Линейные отображения и операторы
- 459 9.1. Линейные отображения
- 459 9.1.1. Определение линейных отображений
- 460 9.1.2. Примеры линейных отображений
- 462 9.1.3. Свойства линейных отображений
- 464 9.1.4. Матрица линейного отображения
- 467 9.1.5. Ядро и образ линейного отображения
- 471 9.2. Линейные преобразования (операторы)
- 471 9.2.1. Определение и примеры линейных преобразований
- 475 9.2.2. Матрицы линейного преобразования в разных базисах
- 476 9.2.3. Алгебра линейных операторов
- 478 9.3. Инвариантные подпространства
- 478 9.3.1. Определение и примеры инвариантных подпространств
- 480 9.3.2. Свойства инвариантных подпространств
- 482 9.4. Собственные векторы линейного преобразования
- 482 9.4.1. Собственные векторы и собственные значения
- 487 9.4.2. Примеры собственных векторов
- 489 9.4.3. Свойства собственных векторов
- 494 9.5. Канонический вид линейного преобразования
- 494 9.5.1. Приведение линейного преобразования к диагональному виду
- 496 9.5.2. Приведение линейного преобразования к каноническому виду
- 513 9.6. Линейные преобразования евклидовых пространств
- 513 9.6.1. Ортогональные преобразования
- 522 9.6.2. Сопряженные преобразования
- 523 9.6.3. Самосопряженные преобразования
- 528 9.6.4. Приведение квадратичной формы к главным осям
- 532 9.6.5. Линейные преобразования унитарных пространств
- 459 9.1. Линейные отображения
- 539 Глава 10. Численные методы линейной алгебры
- 539 10.1. Основные положения. Нормы матриц
- 545 10.2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- 545 10.2.1. Численные схемы реализации метода Гаусса
- 550 10.2.2. Метод прогонки
- 555 10.2.3. Метод LU -разложения
- 561 10.2.4. Метод квадратных корней
- 564 10.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- 564 10.3.1. Метод простых итераций
- 570 10.3.2. Метод Зейделя
- 575 10.4. Итерационный метод Шульца нахождения обратной матрицы
- 578 10.5. Методы решения задач о собственных значениях и собственных векторах матрицы
- 579 10.5.1. Метод итераций
- 582 10.5.2. Метод вращений
- 590 Литература
Инструкция как скачать книгу А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев: Линейная алгебра в примерах и задачах в форматах DjVu, PDF, DOC или fb2 совершенно бесплатно.
Рейтинг книги:
1 голос
2433