Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями

Содержание книги «Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями»:

• 6 От редактора
• 7 Предисловие
• 9 ЧАСТЬ I: ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ
• 9 1. Элементы теории чисел
  • 9 1.1. Целые числа. Делимость и остатки
  • 11 1.2. Уравнения в целых числах
  • 14 1.3. Смешанные задачи на целые числа
  • 17 1.4. Рациональные и иррациональные числа
  • 19 1.5. Сравнение чисел
• 23 2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции
  • 23 2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражении с обратными тригонометрическими функциями
  • 27 2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями
  • 30 2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства
  • 33 2.4. Смешанные задачи
• 34 3. Полезные преобразования и замены переменных
  • 34 3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата
  • 39 3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах
  • 42 3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах
  • 46 3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах
  • 50 3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены
• 53 4. Нестандартные текстовые задачи
  • 53 4.1. Недоопределённые задачи
  • 56 4.2. Неравенства в текстовых задачах
  • 59 4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения
• 63 5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами
  • 63 5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета
  • 67 5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси
  • 73 5.3. Смешанные задачи
• 75 6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций
  • 75 6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность
  • 78 6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности
  • 83 6.3. Функциональные уравнения и неравенства
  • 89 6.4. Использование графических иллюстраций
• 95 7. Метод оценок
  • 95 7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства
  • 98 7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства
  • 104 7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями
• 106 8. Задачи на доказательство
  • 106 8.1. Тригонометрические задачи на доказательство
  • 109 8.2. Метод математической индукции
  • 111 8.3. Доказательство неравенств и тождеств
• 114 9. Использование особенностей условия задачи
  • 114 9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной
  • 118 9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия
  • 123 9.3. Редукция задачи и переформулирование условия
  • 127 9.4. Смешанные задачи
• 131 ЧАСТЬ II: УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
• 131 1. Элементы теории чисел
  • 131 1.1. Целые числа. Делимость и остатки
  • 138 1.2. Уравнения в целых числах
  • 146 1.3. Смешанные задачи на целые числа
  • 154 1.4. Рациональные и иррациональные числа
  • 159 1.5. Сравнение чисел
• 169 2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции
  • 169 2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями
  • 180 2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями
  • 191 2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства
  • 202 2.4. Смешанные задачи
• 218 3. Полезные преобразования и замены переменных
  • 218 3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата
  • 236 3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах
  • 245 3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах
  • 259 3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах
  • 276 3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены
• 284 4. Нестандартные текстовые задачи
  • 284 4.1. Недоопределённые задачи
  • 293 4.2. Неравенства в текстовых задачах
  • 300 4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения
• 312 5. Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметрами
  • 312 5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета
  • 322 5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на числовой оси
  • 337 5.3. Смешанные задачи
• 353 6. Использование различных свойств функций и графических иллюстраций
  • 353 6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность
  • 360 6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности
  • 375 6.3. Функциональные уравнения и неравенства
  • 392 6.4. Использование графических иллюстраций
• 413 7. Метод оценок
  • 413 7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства
  • 422 7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства
  • 442 7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями
• 458 8. Задачи на доказательство
  • 458 8.1. Тригонометрические задачи на доказательство
  • 468 8.2. Метод математической индукции
  • 477 8.3. Доказательство неравенств и тождеств
• 491 9. Использование особенностей условия задачи
  • 491 9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной
  • 500 9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия
  • 511 9.3. Редукция задачи и переформулирование условия
  • 518 9.4. Смешанные задачи
• 527 Ответы
• 536 Литература