Математика

Содержание книги «Математика»:

• 3 Предисловие
• 5 Список используемых обозначений
• 7 ЧАСТЬ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
• 7 Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
  • 7 1. Линейная алгебра
    • 10 1.1. Определители, их свойства
    • 13 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений, их совместность, определенность. Методы Гаусса и Крамера
    • 17 1.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ
  • 21 2. Векторная алгебра
    • 24 2.1. Векторы и линейные операции над ними
    • 27 2.2. Базис в пространстве и на плоскости
    • 29 2.3. Проекция вектора на ось и ее свойства
    • 30 2.4. Прямоугольная система координат. Координаты вектора и точки
    • 32 2.5. Скалярное произведение векторов
    • 34 2.6. Векторное произведение векторов
    • 36 2.7. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов
    • 37 2.8. Линейное пространство. Евклидово пространство Rⁿ
    • 41 2.9. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы. Квадратичные формы Rⁿ
    • 47 2.10. Применение методов алгебры в математическом моделировании
  • 52 3. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве: прямая и плоскость
    • 54 3.1. Прямая на плоскости
    • 57 3.2. Плоскость в пространстве
    • 61 3.3. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости
  • 65 4. Аналитическая геометрия на плоскости: кривые 2-го порядка
    • 67 4.1. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Окружность
    • 68 4.2. Эллипс
    • 69 4.3. Гипербола
    • 71 4.4. Парабола
    • 72 4.5. Преобразования параллельного переноса и поворота системы координат. Упрощение уравнений кривых 2-го порядка
  • 76 5. Аналитическая геометрия в пространстве: поверхности 2-го порядка
    • 78 5.1. Цилиндрические поверхности
    • 79 5.2. Конус 2-го порядка
    • 80 5.3. Эллипсоид
    • 81 5.4. Гиперболоиды
    • 82 5.5. Параболоиды
• 84 Глава 2. Введение в математический анализ
  • 84 6. Функции одной переменной. Элементарные функции
    • 86 6.1. Элементы теории множеств. Символика математической логики. Топология числовой прямой
    • 88 6.2. Функции. Область определения. Способы задания
    • 90 6.3. Основные элементарные функции. Элементарные функции
  • 91 7. Пределы функции одной переменной
    • 93 7.1. Предел последовательности
    • 93 7.2. Предел функции в точке
    • 94 7.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
    • 95 7.4. Леммы о бесконечно малых
    • 96 7.5. Основные теоремы о пределах
    • 98 7.6. Понятие о неопределенностях. I и II замечательные пределы
    • 101 7.7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
  • 103 8. Непрерывные функции одной переменной
    • 104 8.1. Определения непрерывности
    • 106 8.2. Точки разрыва
    • 107 8.3. Свойства функций, непрерывных в т. х₀
    • 108 8.4. Свойства функций, непрерывных на [a, b]
• 110 Глава 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  • 110 9. Дифференцируемые функции одной переменной
    • 112 9.1. Определение производной, ее физический смысл
    • 113 9.2. Геометрический смысл производной
    • 114 9.3. Существование производной и непрерывность
    • 115 9.4. Свойства операции дифференцирования
    • 116 9.5. Производная сложной функции. Логарифмическая производная
    • 117 9.6. Производные основных элементарных функций
    • 119 9.7. Дифференциал
    • 120 9.8. Производные и дифференциалы высших порядков
    • 121 9.9. Производные параметрически заданной функции
  • 123 10. Исследование функций и построение графиков
    • 126 10.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
    • 128 10.2. Правило Лопиталя
    • 129 10.3. Монотонность
    • 130 10.4. Экстремумы
    • 132 10.5. Достаточный признак экстремума, использующий вторую производную. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
    • 133 10.6. Выпуклость, вогнутость
    • 134 10.7. Точка перегиба
    • 136 10.8. Асимптоты
    • 138 10.9. Общая схема исследования функции и построение графика
    • 140 10.10. Применение методов дифференциального исчисления в математическом моделировании
• 144 Глава 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  • 144 11. Дифференцируемые функции нескольких переменных
    • 146 11.1. Понятие функции нескольких переменных. Элементы топологии в Rⁿ
    • 150 11.2. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
    • 151 11.3. Частные приращения и частные производные
    • 153 11.4. Полное приращение и полный дифференциал, применение в приближенных вычислениях
    • 156 11.5. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков
    • 157 11.6. Производные сложных функций
    • 159 11.7. Неявные функции, их дифференцирование
  • 160 12. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных
    • 162 12.1. Экстремумы функции нескольких переменных
    • 164 12.2. Условный экстремум функции нескольких переменных
    • 167 12.3. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Линии как пересечение двух поверхностей
  • 173 Список литературы к первой части
• 174 ЧАСТЬ 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
• 174 Глава 5. Комплексные числа. Функции комплексного переменного
  • 174 13. Комплексные числа
    • 176 13.1. Алгебраическая форма комплексного числа, его изображение на комплексной плоскости
    • 177 13.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
    • 178 13.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
    • 179 13.4. Умножение и деление комплексного числа в тригонометрической и показательной формах
    • 180 13.5. Возведение в целую положительную степень и извлечение корня n-й степени из комплексного числа
  • 181 14. Функции комплексного переменного
    • 182 14.1. Области и линии на комплексной плоскости. Понятие функции комплексного переменного
    • 185 14.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
    • 187 14.3. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши—Римана
    • 188 14.4. Понятие аналитической функции. Сопряженные гармонические функции
• 190 Глава 6. Интегральное исчисление функций одной переменной
  • 190 15. Неопределенный интеграл
    • 192 15.1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла
    • 193 15.2. Основные свойства неопределенного интеграла
    • 194 15.3. Таблица неопределенных интегралов
    • 194 15.4. Методы интегрирования
  • 197 16. Классы интегрируемых функций
    • 199 16.1. Интегрирование рациональных дробей
    • 203 16.2. Интегрирование тригонометрических функций
    • 204 16.3. Интегрирование иррациональных функций
  • 206 17. Определенный интеграл
    • 209 17.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
    • 211 17.2. Свойства определенного интеграла
    • 213 17.3. Формула Ньютона—Лейбница
    • 215 17.4. Интегрирование заменой переменных и по частям в определенных интегралах
    • 216 17.5. Несобственный интеграл
  • 220 18. Геометрические приложения определенного интеграла
    • 222 18.1. Вычисление площади плоской фигуры
    • 227 18.2. Вычисление объемов тел
    • 229 18.3. Вычисление длины дуги кривой
  • 233 19. Элементы теории функций и функционального анализа
    • 234 19.1. Мера Лебега. Измеримые множества
    • 236 19.2. Измеримые функции. Интеграл Лебега
    • 238 19.3. Функции с ограниченным изменением. Интеграл Стилтьеса
• 241 Глава 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
  • 241 20. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка
    • 242 20.1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях
    • 244 20.2. ОДУ 1-го порядка. Задача Коши. Общее решение
    • 246 20.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
    • 246 20.4. Однородные ДУ 1-го порядка
    • 247 20.5. Линейные ОДУ 1-го порядка
  • 249 21. Обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка
    • 251 21.1. Основные понятия об ОДУ 2-го порядка
    • 252 21.2. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка
    • 253 21.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
  • 260 22. Понятие о решении ОДУ высших порядков и систем дифференциальных уравнений
    • 261 22.1. Линейные ДУ n-го порядка
    • 262 22.2. Нормальные системы ОДУ и их интегрирование методом исключения
    • 263 22.3. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
    • 265 22.4. Дифференциальная модель химических реакций
• 269 Глава 8. Интегрирование функций нескольких переменных
  • 269 23. Двойной интеграл
    • 272 23.1. Определение двойного интеграла
    • 275 23.2. Свойства двойных интегралов
    • 275 23.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
    • 279 23.4. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
    • 282 23.5. Приложения двойных интегралов
  • 288 24. Тройные и n-кратные интегралы
    • 291 24.1. Понятия тройного и n-кратного интеграла
    • 294 24.2. Свойства тройного интеграла
    • 294 24.3. Вычисление тройного интеграла
    • 299 24.4. Приложения тройных интегралов
  • 303 Список литературы ко второй части
• 304 ЧАСТЬ 3. ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА
• 304 Глава 9. Векторный анализ
  • 304 25. Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода)
    • 305 25.1. Кривые в Rⁿ. Задача о массе кривой. Понятие криволинейного интеграла I рода
    • 307 25.2. Свойства криволинейного интеграла I рода
    • 308 25.3. Вычисление криволинейного интеграла I рода
  • 310 26. Криволинейный интеграл по координатам (II рода)
    • 312 26.1. Определение криволинейного интеграла II рода
    • 314 26.2. Свойства криволинейного интеграла II рода
    • 315 26.3. Вычисление криволинейного интеграла II рода
    • 317 26.4. Связь между криволинейными интегралами I и II рода
    • 317 26.5. Формула Грина
    • 319 26.6. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
    • 321 26.7. Интегрирование полных дифференциалов
    • 323 26.8. Уравнения в полных дифференциалах
  • 324 27. Поверхностные интегралы
    • 327 27.1. Поверхности в R³
    • 329 27.2. Поверхностный интеграл I рода
    • 333 27.3. Поверхностный интеграл II рода
    • 337 27.4. Формула Остроградского—Гаусса
    • 338 27.5. Формула Стокса
  • 340 28. Скалярное и векторное поля
    • 342 28.1. Скалярное поле и его характеристики
    • 346 28.2. Векторное поле и его характеристики
• 354 Глава 10. Числовые и функциональные ряды
  • 354 29. Числовые ряды
    • 357 29.1. Понятие числового ряда и его суммы
    • 358 29.2. Основные свойства сходящихся числовых рядов
    • 359 29.3. Необходимый признак сходимости числового ряда
    • 359 29.4. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
    • 364 29.5. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница
    • 365 29.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости
  • 367 30. Степенные ряды
    • 370 30.1. Понятие функционального и степенного рядов. Теорема Абеля
    • 372 30.2. Радиус и интервал сходимости степенного ряда
    • 373 30.3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
    • 374 30.4. Ряды Тейлора и Маклорена
    • 375 30.5. Необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора
    • 376 30.6. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена
    • 380 30.7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям
  • 382 31. Ряды Фурье
    • 384 31.1. Тригонометрический ряд
    • 385 31.2. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье для функции с периодом 2p
    • 387 31.3. Достаточные условия разложения периодической функции f(x) с периодом 2p в ряд Фурье
    • 388 31.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
    • 390 31.5. Ряд Фурье для функций с периодом 2l. Разложение в ряд Фурье непериодических функций
• 392 Глава 11. Уравнения математической физики
  • 392 32. Основные типы уравнений математической физики
    • 393 32.1. Понятие об уравнениях математической физики. Граничные и начальные условия
    • 395 32.2. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка
    • 397 32.3. Построение математической модели задачи распространении тепла
  • 399 33. Методы решения уравнений математической физики
    • 401 33.1. Метод Даламбера
    • 403 33.2. Метод Фурье
    • 409 33.3. Метод конечных разностей для решения уравнений математической физики
  • 411 Список литературы к третьей части
• 412 ЧАСТЬ 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
• 412 Глава 12. Элементы теории вероятностей и математической статистики
  • 412 34. Основные понятия теории вероятностей
    • 414 34.1. Понятия пространства элементарных событий и случайного события. Основные формулы комбинаторики
    • 416 34.2. Действия над событиями
    • 417 34.3. Различные определения вероятности
    • 420 34.4. Сложение и умножение вероятностей
    • 423 34.5. Схема испытаний Бернулли
  • 424 35. Случайные величины
    • 426 35.1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения
    • 430 35.2. Числовые характеристики случайных величин
    • 432 35.3. Примеры распределений дискретных и непрерывных случайных величин
    • 437 35.4. Многомерные случайные величины. Понятие о случайных процессах
  • 445 36. Элементы математической статистики
    • 448 36.1. Основные понятия математической статистики. Построение эмпирического закона распределения
    • 452 36.2. Определение неизвестных параметров распределения и выборочного коэффициента корреляции
    • 459 36.3. Проверка статистических гипотез
• 466 Глава 13. Дискретная математика
  • 466 37. Логические исчисления
    • 467 37.1. Логика высказываний
    • 470 37.2. Равносильные формулы логики высказываний
    • 473 37.3. Элементы логики предикатов
    • 474 37.4. Понятие о формальных системах, языках и грамматиках
  • 476 38. Графы
    • 477 38.1. Основные понятия и способы задания графов
    • 480 38.2. Маршруты, цепи и циклы
    • 482 38.3. Некоторые классы графов
    • 485 38.4. Понятие об автоматах, их задание графами
  • 487 Список литературы к четвертой части