Линейная алгебра в примерах и задачах

Содержание книги «Линейная алгебра в примерах и задачах»:

• 8 Предисловие
• 9 Введение
  • 9 1. Множества и операции над ними
  • 11 2. Основные алгебраические структуры
    • 11 2.1. Арифметические операции и их свойства
    • 15 2.2. Бинарные операции и их свойства
    • 18 2.3. Группы, кольца, поля
  • 25 3. Поле комплексных чисел
  • 29 4. Кольцо многочленов
  • 38 5. Аксиоматические построения и логические рассуждения
• 46 Глава 1. Матрицы и действия над ними
  • 46 1.1. Числовые матрицы
  • 48 1.2. Линейные операции над матрицами
    • 48 1.2.1. Сложение матриц
    • 49 1.2.2. Умножение матрицы на число
  • 50 1.3. Умножение матриц
    • 50 1.3.1. Определение произведения матриц
    • 54 1.3.2. Свойства умножения матриц
    • 57 1.3.3. Умножение матриц на столбцы и строки единичной матрицы
    • 59 1.3.4. Степень матрицы
  • 62 1.4. Транспонирование и сопряжение матриц
    • 62 1.4.1. Транспонирование матриц
    • 65 1.4.2. Сопряжение матриц
    • 68 1.4.3. След матрицы
  • 70 1.5. Блочные (клеточные) матрицы
    • 70 1.5.1. Блочные матрицы и операции над ними
    • 74 1.5.2. Кронекеровские произведение и сумма матриц
  • 75 1.6. Элементарные преобразования матриц
    • 75 1.6.1. Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду
    • 83 1.6.2. Элементарные преобразования как умножения матриц
    • 91 1.6.3. Нахождение элементарных преобразующих матриц
• 99 Глава 2. Определители
  • 99 2.1. Индуктивное определение
  • 102 2.2. Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)
  • 104 2.3. Свойства определителей
    • 104 2.3.1. Основные свойства определителей
    • 108 2.3.2. Формула полного разложения определителя
    • 110 2.3.3. Формула Лапласа
    • 112 2.3.4. Определитель произведения матриц
  • 115 2.4. Методы вычисления определителей
    • 115 2.4.1. Применение элементарных преобразований
    • 121 2.4.2. Метод рекуррентных уравнений
• 128 Глава 3. Ранг матрицы
  • 128 3.1. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) матрицы
  • 131 3.2. Базисный минор и ранг матрицы
    • 131 3.2.1. Базисный минор матрицы
    • 133 3.2.2. Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы
  • 138 3.3. Методы вычисления ранга матрицы
    • 138 3.3.1. Метод окаймляющих миноров
    • 140 3.3.2. Метод Гаусса нахождения ранга матрицы
  • 143 3.4. Ранг системы столбцов (строк)
• 149 Глава 4. Обратная матрица
  • 149 4.1. Определение, существование и единственность обратной матрицы
  • 151 4.2. Свойства обратной матрицы
  • 153 4.3. Способы нахождения обратной матрицы
  • 160 4.4. Матричные уравнения
  • 162 4.5. Полуобратная и псевдообратная матрицы
    • 162 4.5.1. Односторонние обратные матрицы
    • 164 4.5.2. Полуобратная матрица
    • 170 4.5.3. Псевдообратная матрица
• 185 Глава 5. Системы линейных алгебраических уравнений
  • 185 5.1. Основные понятия и определения
  • 187 5.2. Правило Крамера
  • 189 5.3. Условие совместности системы линейных уравнений
  • 190 5.4. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
  • 194 5.5. Структура общего решения однородной системы
  • 200 5.6. Структура общего решения неоднородной системы
  • 203 5.7. Применение элементарных преобразующих матриц
  • 209 5.8. Псевдорешения системы линейных уравнений
• 218 Глава 6. Функциональные матрицы и функции векторного аргумента
  • 218 6.1. Функциональные матрицы скалярного аргумента
  • 222 6.2. Производные скалярной функции по векторному аргументу
  • 224 6.3. Производные векторной функции по векторному аргументу
  • 230 6.4. Производные матричной функции по векторному аргументу
  • 231 6.5. Линейные и квадратичные формы
    • 235 6.5.1. Преобразования форм при линейной замене переменных
    • 238 6.5.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
    • 248 6.5.3. Закон инерции вещественных квадратичных форм
    • 251 6.5.4. Знакоопределенность вещественных квадратичных форм …
    • 254 6.5.5. Применение форм к исследованию функций на экстремум …
• 261 Глава 7. Многочленные матрицы и функции от матриц
  • 261 7.1. Многочленные матрицы (λ.-матрицы)
    • 261 7.1.1. Определение многочленных матриц (λ -матриц)
    • 262 7.1.2. Операции над λ.-матрицами
    • 271 7.1.3. Элементарные преобразования λ -матриц
    • 279 7.1.4. Инвариантные множители λ.-матрицы
  • 282 7.2. Характеристические матрицы и многочлены
    • 282 7.2.1. Собственные векторы и собственные значения матрицы
    • 291 7.2.2. Подобие числовых матриц
    • 298 7.2.3. Характеристический многочлен матрицы
    • 300 7.2.4. Теорема Гамильтона – Кэли. Минимальный многочлен матрицы
  • 306 7.3. Жорданова форма матрицы
    • 306 7.3.1. Элементарные делители матрицы
    • 309 7.3.2. Жордановы клетки и матрицы
    • 316 7.3.3. Приведение матрицы к жордановой форме
    • 331 7.3.4. Многочлены от матриц
    • 342 7.3.5. Применение многочленов от матриц для решения систем линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами
  • 346 7.4. Функции от матриц
    • 347 7.4.1. Функции, определенные на спектре матрицы
    • 348 7.4.2. Определение и свойства функций от матриц
    • 349 7.4.3. Способы нахождения функций от матриц
    • 354 7.4.4. Свойства функций от матриц
    • 356 7.4.5. Применение функций от матриц для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
• 364 Глава 8. Линейные пространства
  • 364 8.1. Определение и примеры линейных пространств
    • 364 8.1.1. Аксиомы линейного пространства
    • 365 8.1.2. Простейшие следствия аксиом
    • 366 8.1.3. Примеры линейных пространств
  • 370 8.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов
    • 370 8.2.1. Понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов
    • 372 8.2.2. Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов
    • 373 8.2.3. Аффинные, неотрицательные и выпуклые комбинации векторов
  • 376 8.3. Размерность и базис линейного пространства
    • 376 8.3.1. Определения размерности и базиса
    • 379 8.3.2. Примеры базисов линейных пространств
  • 383 8.4. Координаты и преобразования координат
    • 383 8.4.1. Координаты векторов в данном базисе
    • 383 8.4.2. Линейные операции в координатной форме
    • 385 8.4.3. Преобразование координат вектора при замене базиса
    • 387 8.4.4. Свойства матрицы перехода от одного базиса к другому
  • 389 8.5. Изоморфизм линейных пространств
  • 391 8.6. Подпространства линейного пространства
    • 391 8.6.1. Определение линейного подпространства
    • 392 8.6.2. Примеры линейных подпространств
    • 395 8.6.3. Пересечение и сумма подпространств
    • 400 8.6.4. Прямая сумма подпространств
    • 403 8.6.5. Способы описания подпространств
  • 419 8.7. Линейные многообразия
    • 419 8.7.1. Определение линейного многообразия
    • 420 8.7.2. Свойства линейных многообразий
    • 421 8.7.3. Способы описания линейных многообразий
  • 426 8.8. Евклидовы пространства
    • 426 8.8.1. Определение евклидова пространства
    • 428 8.8.2. Примеры евклидовых пространств
    • 430 8.8.3. Длина вектора. Угол между векторами
    • 433 8.8.4. Ортогональные векторы и их свойства
    • 434 8.8.5. Процесс ортогонализации Грама- Шмидта
    • 437 8.8.6. Ортогональный и ортонормированный базисы
    • 443 8.8.7. Ортогональные дополнения
    • 447 8.8.8. Задача о перпендикуляре
    • 453 8.8.9. Унитарные пространства
• 459 Глава 9. Линейные отображения и операторы
  • 459 9.1. Линейные отображения
    • 459 9.1.1. Определение линейных отображений
    • 460 9.1.2. Примеры линейных отображений
    • 462 9.1.3. Свойства линейных отображений
    • 464 9.1.4. Матрица линейного отображения
    • 467 9.1.5. Ядро и образ линейного отображения
  • 471 9.2. Линейные преобразования (операторы)
    • 471 9.2.1. Определение и примеры линейных преобразований
    • 475 9.2.2. Матрицы линейного преобразования в разных базисах
    • 476 9.2.3. Алгебра линейных операторов
  • 478 9.3. Инвариантные подпространства
    • 478 9.3.1. Определение и примеры инвариантных подпространств
    • 480 9.3.2. Свойства инвариантных подпространств
  • 482 9.4. Собственные векторы линейного преобразования
    • 482 9.4.1. Собственные векторы и собственные значения
    • 487 9.4.2. Примеры собственных векторов
    • 489 9.4.3. Свойства собственных векторов
  • 494 9.5. Канонический вид линейного преобразования
    • 494 9.5.1. Приведение линейного преобразования к диагональному виду
    • 496 9.5.2. Приведение линейного преобразования к каноническому виду
  • 513 9.6. Линейные преобразования евклидовых пространств
    • 513 9.6.1. Ортогональные преобразования
    • 522 9.6.2. Сопряженные преобразования
    • 523 9.6.3. Самосопряженные преобразования
    • 528 9.6.4. Приведение квадратичной формы к главным осям
    • 532 9.6.5. Линейные преобразования унитарных пространств
• 539 Глава 10. Численные методы линейной алгебры
  • 539 10.1. Основные положения. Нормы матриц
  • 545 10.2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
    • 545 10.2.1. Численные схемы реализации метода Гаусса
    • 550 10.2.2. Метод прогонки
    • 555 10.2.3. Метод LU -разложения
    • 561 10.2.4. Метод квадратных корней
  • 564 10.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
    • 564 10.3.1. Метод простых итераций
    • 570 10.3.2. Метод Зейделя
  • 575 10.4. Итерационный метод Шульца нахождения обратной матрицы
  • 578 10.5. Методы решения задач о собственных значениях и собственных векторах матрицы
    • 579 10.5.1. Метод итераций
    • 582 10.5.2. Метод вращений
• 590 Литература